Bu modul machine learning’ning matematik tili — matritsalar, vektorlar va ular yordamida linear regression’ni bir nechta xususiyatga kengaytirish.

Matritsa va vektor

Matritsa — sonlarning to’rtburchak jadvali; o’lchami qatorlar × ustunlar deb o’qiladi. Vektor — bitta ustunli matritsa (n × 1). ML’da butun dataset odatda bitta X matritsaga yig’iladi: har qator — bitta misol, har ustun — bitta xususiyat.

A = | 1  2 |        v = | 5 |
    | 3  4 |            | 6 |
    | 5  6 |
A: 3×2 matritsa      v: 2×1 vektor

Bir o’lchamdagi matritsalar element bo’yicha qo’shiladi; skalyarga ko’paytirish har elementga ta’sir qiladi — bu amallar o’lchamni o’zgartirmaydi:

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
print(A + A)      # har element ikkilanadi
print(3 * A)      # har element 3 ga ko'payadi
print(A.T)        # transpozitsiya: 2x3 — qator va ustunlar almashadi

Matritsalarni ko’paytirish

Asosiy qoida: (m × n) · (n × p) = (m × p) — birinchisining ustunlar soni ikkinchisining qatorlar soniga teng bo’lishi shart, natija chetki o’lchamlardan tuziladi. Natijaning (i, j) elementi — birinchining i-qatori bilan ikkinchining j-ustunining juft-juft ko’paytmalari yig’indisi:

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])        # 3x2
v = np.array([[5],
              [6]])           # 2x1
print(A @ v)

Natija:

[[17]
 [39]
 [61]]

(1·5 + 2·6 = 17 va hokazo.) Ikki ogohlantirish: NumPy’da * element bo’yicha ko’paytirish, matritsa ko’paytmasi esa @ (yoki np.dot); va ko’paytirish kommutativ emas — A @ B ≠ B @ A (ko’pincha ikkinchisi o’lcham jihatdan umuman mumkin ham emas). Foydali maxsus holat — birlik matritsa I: I @ A = A @ I = A.

Ko’p xususiyatli linear regression

Uy narxi faqat maydonga emas — xonalar soni, qavat, yoshiga ham bog’liq. Model n ta xususiyatga kengayadi:

h(x) = w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wₙxₙ + b

Matritsa tili bu yig’indini bitta amalga aylantiradi. X — (m × n) dataset, w — (n × 1) og’irliklar vektori:

X = np.array([[65, 2],      # maydon, xonalar
              [80, 3],
              [120, 4]])     # 3 misol, 2 xususiyat
w = np.array([[1.2],
              [15.0]])
b = 40.0
print(X @ w + b)             # UCHALA misol bashorati bitta amalda

Natija:

[[148.]
 [181.]
 [244.]]

Sikl yo’q — shu vektorlashuv deyiladi. Gradient ham xuddi shunday ixchamlashadi: dw = X.T @ (h − y) / m. Oldingi modulda yozgan kodingiz bir necha belgigina o’zgarib, istalgan miqdordagi xususiyat bilan ishlay boshlaydi — chiziqli algebraning ML’dagi kuchi ana shunda.

Amaliyot

1. (2×3) va (3×2) matritsalar yozib, A @ B va B @ A ni hisoblang — o’lchamlari va qiymatlari farqiga e’tibor bering.
2. Qaysilarini ko’paytirish mumkin: (4×2)·(2×5)? (3×3)·(4×3)? (1×5)·(5×1)? Mumkinlarining natija o’lchamini yozing.
3. Yuqoridagi X, w, b misolini kodda terib, natijani qo’lda hisoblab tekshiring.
4. Uch xususiyatli o’zingizning mini-datasetingizni yasang (5 misol) va tasodifiy w bilan X @ w + b bashoratini hisoblang.
5. X.T @ X ning o’lchami nima bo’lishini oldindan aytib, keyin kodda tekshiring.

Kursni yopadigan test keyingi darsda — barcha modullar bo’yicha asosiy tushunchalarni qamrab oladi.